# sfact

離散時間スペクトル分解

## 呼び出し手順

    F=sfact(P)

## パラメータ

P

  実数多項式行列

## 説明

`P`のスペクトル分解 `F`を求めます. `P` は`P`の各根が単位円に関する 鏡像となるような多項式行列です. 単位円上に根がある時,問題は特異となります.

`sfact(P)` は,安定ではない以下のような 多項式行列`F(z)`を返します.

`P = F(z)* F(1/z) *z^n`

スカラー多項式の場合,特殊なアルゴリズムが実装されています. アルゴリズムはKuceraの本によるものです.

## 例

    //Simple polynomial example
    z=poly(0,'z');
    p=(z-1/2)*(2-z)
    w=sfact(p);
    w*numer(horner(w,1/z))

    //matrix example
    F1=[z-1/2,z+1/2,z^2+2;1,z,-z;z^3+2*z,z,1/2-z];
    P=F1*gtild(F1,'d');  //P is symmetric
    F=sfact(P)
    roots(det(P))
    roots(det(gtild(F,'d')))  //The stable roots
    roots(det(F))             //The antistable roots
    clean(P-F*gtild(F,'d'))

    //Example of continuous time use
    s=poly(0,'s');
    p=-3*(s+(1+%i))*(s+(1-%i))*(s+0.5)*(s-0.5)*(s-(1+%i))*(s-(1-%i));p=real(p);
    //p(s) = polynomial in s^2 , looks for stable f such that p=f(s)*f(-s)
    w=horner(p,(1-s)/(1+s));  // bilinear transform w=p((1-s)/(1+s))
    wn=numer(w);              //take the numerator
    fn=sfact(wn);f=numer(horner(fn,(1-s)/(s+1))); //Factor and back transform
    f=f/sqrt(horner(f*gtild(f,'c'),0));f=f*sqrt(horner(p,0));      //normalization
    roots(f)    //f is stable
    clean(f*gtild(f,'c')-p)    //f(s)*f(-s) is p(s)

## 参照

- gtild
- fspecg