# splin2d

双3次スプラインのグリッド2次元補間

## 呼び出し手順

    C = splin2d(x, y, z, [,spline_type])

## パラメータ

x,y

  補間グリッドを定義する単調増加の行ベクトル (要素数は2以上)

z

  nx x ny 行列 (nx は `x`の長さ, ny は `y`の長さ)

spline_type

  (オプション) 計算する双3次スプラインの種類を選択する文字列

C

  双3次パッチの係数を有するベクトル(詳細は注記を参照))

## 説明

この関数は点(xi,yj,zij)を補間する, すなわち,全てのi=1,..,nxおよび j=1,..,nyについて s(xi,yj)=zijとなるような, 双3次スプラインまたはサブスプライン sを計算します. 得られるスプラインはsは `(x,y,C)`の組で定義されます. ただし,`C` は, (nx-1)(ny-1)個の双3次パッチの各々の係数 [x(i) x(i+1)]x[y(j) y(j+1)] を有する （長さ16(nx-1)(ny-1)の)ベクトルです, sは次のように定義されます :

いくつかの点でinterp2d関数により sの評価を行う必要があります. 適当な`spline_type`パラメータを選択することにより, 複数の種類のスプラインを計算することができます.

双3次スプライン(またはサブスプライン)を計算するために使用する方法は, 古い形式の手法,すなわち, 各グリッドの点(xi,yj)において 1階微分ds/dx(xi,yj) および ds/dy(xi,yj)と相互微分 d2s/dxdy(xi,yj)の近似値を計算する手法です.

これらの微係数は,C2関数 (sは連続2階微分可能)となる 1次元スプライン法の平均,または C1関数となるローカルな近似法の平均により,計算されます. この手法は,`spline_type`パラメータにより 選択されます.(詳細は, splinを参照ください) :

"not_a_knot"

  これがデフォルトです.

"periodic"

  基本関数に周期性がある場合に使用します: [1,ny]の範囲のあらゆるjについてz(1,j) = z(nx,j), [1,nx]の範囲のあらゆるuについてz(i,1) = z(i,ny) となる必要がありますが,これはインターフェイスでは検証されません.

## 注意

精度の観点から,not_a_knot型,また 基本となる補間関数に周期性がある場合にはperiodic型を使用してください.

natural, monotone, fast (または fast_periodic) 型は, 例えば振動を防止したい場合(monotone がこの用途には最も強力です)に有用です.

より簡便な方法で双三次パッチの係数を得るには, `c = hypermat([4,4,nx-1,ny-1],C)`を使用し, 続いてパッチ(i,j)(前記の式参照) の係数(k,l) を`c(k,l,i,j)`に保存します. ただし,interp2d関数は, ハイパー行列`c`ではなく, 大きなベクトル`C`を引数として受け入れます (`C=c(:)`とすることで`c`から 容易に`C`を取得できます).

## 例

    // 例1 : cos(x)cos(y)の補間
    n = 7;  //  n x n 個の補間点を有する通常のグリッドを
            // 使用します
    x = linspace(0,2*%pi,n); y = x;
    z = cos(x')*cos(y);
    C = splin2d(x, y, z, "periodic");
    m = 50; // 評価グリッドの離散化パラメータ
    xx = linspace(0,2*%pi,m); yy = xx;
    [XX,YY] = ndgrid(xx,yy);
    zz = interp2d(XX,YY, x, y, C);
    emax = max(abs(zz - cos(xx')*cos(yy)));
    clf()
    plot3d(xx, yy, zz, flag=[2 4 4])
    [X,Y] = ndgrid(x,y);
    param3d1(X,Y,list(z,-9*ones(1,n)), flag=[0 0])
    str = msprintf(" with %d x %d interpolation points. ermax = %g",n,n,emax)
    xtitle("spline interpolation of cos(x)cos(y)"+str)

    // 例2 : ランダムなデータに異なる補間関数を適用
    n = 6;
    x = linspace(0,1,n); y = x;
    z = rand(n,n);
    np = 50;
    xp = linspace(0,1,np); yp = xp;
    [XP, YP] = ndgrid(xp,yp);
    ZP1 = interp2d(XP, YP, x, y, splin2d(x, y, z, "not_a_knot"));
    ZP2 = linear_interpn(XP, YP, x, y, z);
    ZP3 = interp2d(XP, YP, x, y, splin2d(x, y, z, "natural"));
    ZP4 = interp2d(XP, YP, x, y, splin2d(x, y, z, "monotone"));
    xset("colormap", jetcolormap(64))
    clf()
    subplot(2,2,1)
    plot3d1(xp, yp, ZP1, flag=[2 2 4])
    xtitle("not_a_knot")
    subplot(2,2,2)
    plot3d1(xp, yp, ZP2, flag=[2 2 4])
    xtitle("bilinear interpolation")
    subplot(2,2,3)
    plot3d1(xp, yp, ZP3, flag=[2 2 4])
    xtitle("natural")
    subplot(2,2,4)
    plot3d1(xp, yp, ZP4, flag=[2 2 4])
    xtitle("monotone")
    show_window()

    // 例3 : ステップ関数のnot_a_knot スプラインおよびmonotoneスプライン
    //
    a = 0; b = 1; c = 0.25; d = 0.75;
    // 補間グリッドを作成
    n = 11;
    x = linspace(a,b,n);
    ind = find(c &lt;= x &amp; x &lt;= d);
    z = zeros(n,n); z(ind,ind) = 1;  // 正方形の中にステップ
    // 評価グリッドを作成
    np = 220;
    xp = linspace(a,b, np);
    [XP, YP] = ndgrid(xp, xp);
    zp1 = interp2d(XP, YP, x, x, splin2d(x,x,z));
    zp2 = interp2d(XP, YP, x, x, splin2d(x,x,z,"monotone"));
    // プロット
    clf()
    xset("colormap",jetcolormap(128))
    subplot(1,2,1)
    plot3d1(xp, xp, zp1, flag=[-2 6 4])
    xtitle("spline (not_a_knot)")
    subplot(1,2,2)
    plot3d1(xp, xp, zp2, flag=[-2 6 4])
    xtitle("subspline (monotone)")

## 参照

- cshep2d
- linear_interpn
- interp2d