# legendre

随伴ルジャンドル関数

## 呼び出し手順

    y = legendre(n,m,x [,normflag])

## パラメータ

n

  非負の整数または等間隔で増分刻みが1の 非負の整数のベクトル

m

  非負の整数または等間隔で増分刻みが1の 非負の整数のベクトル

x

  実数 (行) ベクトル (`x`の要素は `(-1,1)`の範囲にある必要があります)

normflag

  (オプション) スカラー文字列

## 説明

`n` および `m` がスカラーの場合, `legendre(n,m,x)` は, `x`の全要素について 随伴ルジャンドル関数Pnm(x)を計算します. 使用される定義を以下に示します:

ただし,`Pn`は`n`次の ルジャンドル多項式です. `legendre(n,0,x)` は `x`の全要素について ルジャンドル関数Pn(x)を計算します.

normflagが"norm"に等しい時, (`(-1)^m`係数を付けずに) 正規化された出力が得られます :

これは,球面調和関数を計算する際に有用です(例3参照):

効率化のため, 最初の2つの引数の一つをベクトルとすることができ, 例えば,`legendre(n1:n2,0,x)`は `x`の要素における n1, n1+1, ..., n2次の ルジャンドル多項式を全て計算します. また, `legendre(n,m1:m2,x)` は `x`においてm=m1, m1+1, ..., m2 に関する随伴ルジャンドル関数Pnmを全て計算します.

## 出力形式

どの場合でも, `y`の形式は以下のようになります :

    max(length(n),length(m)) x length(x)

and :

    y(i,j) = P(n(i),m;x(j))   n がベクトルの場合
    y(i,j) = P(n,m(i);x(j))   m がベクトルの場合
    y(1,j) = P(n,m;x(j))      n と m が共にスカラーの場合

`x`は行ベクトルの方が好ましいですが, 任意の`mx x nx`行列を指定すると, `1 x (mx * nx)`行列とみなされ, 以下のように列順に成形されます.

## 例

    // 例 1 :  最初の6個のルジャンドル多項式を(-1,1)の範囲でプロット
    l = nearfloat("pred",1);
    x = linspace(-l,l,200)';
    y = legendre(0:5, 0,  x);
    clf()
    plot2d(x,y', leg="p0@p1@p2@p3@p4@p5@p6")
    xtitle("the 6 th first Legendre polynomials")

    // 例2 : 5次の随伴ルジャンドル関数をプロット
    l = nearfloat("pred",1);
    x = linspace(-l,l,200)';
    y = legendre(5, 0:5, x, "norm");
    clf()
    plot2d(x,y', leg="p5,0@p5,1@p5,2@p5,3@p5,4@p5,5")
    xtitle("the (normalized) associated Legendre functions of degree 5")

    // 例3 : 球面調和関数を定義,プロット
    // 3-1 : 関数Ylmを定義
    function [y] = Y(l,m,theta,phi)
      // theta はスカラーまたは行ベクトル
      // phi はスカラーまたは列ベクトル
      if m >= 0 then
         y = (-1)^m/(sqrt(2*%pi))*exp(%i*m*phi)*legendre(l, m, cos(theta), "norm")
      else
         y = 1/(sqrt(2*%pi))*exp(%i*m*phi)*legendre(l, -m, cos(theta), "norm")
      end
    endfunction

    // 3.2 : 他の有用な関数を定義
    function [x,y,z] = sph2cart(theta,phi,r)
      // theta 行ベクトル      1 x nt
      // phi   列ベクトル  np x 1
      // r    スカラーまたは np x nt 行列 (r(i,j) phi(i) theta(j)) における長さ
      x = r.*(cos(phi)*sin(theta));
      y = r.*(sin(phi)*sin(theta));
      z = r.*(ones(phi)*cos(theta));
    endfunction

    // 3-3  Y31(theta,phi)をプロット
    l = 3; m = 1;
    theta = linspace(0.1,%pi-0.1,60);
    phi = linspace(0,2*%pi,120)';
    f = Y(l,m,theta,phi);
    [x1,y1,z1] = sph2cart(theta,phi,abs(f));       [xf1,yf1,zf1] = nf3d(x1,y1,z1);
    [x2,y2,z2] = sph2cart(theta,phi,abs(real(f))); [xf2,yf2,zf2] = nf3d(x2,y2,z2);
    [x3,y3,z3] = sph2cart(theta,phi,abs(imag(f))); [xf3,yf3,zf3] = nf3d(x3,y3,z3);

    clf()
    subplot(1,3,1)
    plot3d(xf1,yf1,zf1,flag=[2 4 4]); xtitle("|Y31(theta,phi)|")
    subplot(1,3,2)
    plot3d(xf2,yf2,zf2,flag=[2 4 4]); xtitle("|Real(Y31(theta,phi))|")
    subplot(1,3,3)
    plot3d(xf3,yf3,zf3,flag=[2 4 4]); xtitle("|Imag(Y31(theta,phi))|")