# legendre

funções associadas de Legendre

## Seqüência de Chamamento

    y = legendre(n,m,x [,normflag])

## Parâmetros

n

  inteiro não-negativo ou vetor de inteiros não-negativos igualmente espaçados com incremento igual a 1

m

  inteiro não-negativo ou vetor de inteiros não-negativos igualmente espaçados com incremento igual a 1

x

  vetor (linha) de reais (os elementos de `x` devem estar no intervalo `(-1,1)` )

normflag

  (opcional) escalar string

## Descrição

Quando `n` e `m` são escalares, `legendre(n,m,x)` avalia a função de Legendre associada Pnm(x) em todos os elementos de `x`. A definição usada é :

                                m
                 m        m/2  d
    Pnm(x) = (-1)  (1-x^2)    --- Pn(x)
                                m
                              dx

onde `Pn` é o polinômio de Legendre de grau `n`. Então, `legendre(n,0,x)` avalia o polinômio de Legendre Pn(x) em todos os elementos de `x`.

Quando normflag é igual a "norm" o resultado é uma versão normalizada (sem o fator `(-1)^m` ), precisamente :

                       _____________                m
                      /(2n+1)(n-m)!          m/2   d
    Pnm(x,"norm") =  /--------------  (1-x^2)     --- Pn(x)
                   \/     2  (n+m)!                 m
                                                  dx

que é útil para computar funções harmônicas esféricas (ver exemplo 3):

Por eficiência, um dos primeiros dois argumentos pode ser um vetor, por exemplo `legendre(n1:n2,0,x)` avalia todos os polinômios de Legendre de graus n1, n1+1, ..., n2 nos elementos de `x` e `legendre(n,m1:m2,x)` avalia todas as funções de Legendre associadas Pnm para m=m1, m1+1, ..., m2 em `x`.

## Formato de Saída

Em qualquer caso, o formato é `y` :

    max(length(n),length(m)) x length(x)

e :

    y(i,j) = P(n(i),m;x(j))   se n é um vetor
    y(i,j) = P(n,m(i);x(j))   se m é um vetor
    y(1,j) = P(n,m;x(j))      se ambos n e m são escalares

de tal modo que `x` é preferivelmente um vetor linha, mas qualquer matriz `mx x nx` é excetuada e considerada como uma matriz `1 x (mx * nx)` matrix, reformada segundo a ordem das colunas.

## Exemplos

    // exemplo 1 : plot dos primeiros 6 polinômios de Legendre em (-1,1)
    l = nearfloat("pred",1);
    x = linspace(-l,l,200)';
    y = legendre(0:5, 0,  x);
    clf()
    plot2d(x,y', leg="p0@p1@p2@p3@p4@p5@p6")
    xtitle("Os 6 primeiros polinômios de Legendre")

    // exemplo 2 : plot das funções associadas de Legendre de grau 5
    l = nearfloat("pred",1);
    x = linspace(-l,l,200)';
    y = legendre(5, 0:5, x, "norm");
    clf()
    plot2d(x,y', leg="p5,0@p5,1@p5,2@p5,3@p5,4@p5,5")
    xtitle("As funções associadas de Legendre (normalizadas) de grau 5")

    // exemplo 3 : definindo e plotando uma função harmônica esférica
    // 3-1 : definindo a função Ylm
    function [y] = Y(l,m,theta,phi)
      // teta pode ser um escalar ou um vetor linha
      // phi pode ser um escalar ou um vetor coluna
      if m >= 0 then
         y = (-1)^m/(sqrt(2*%pi))*exp(%i*m*phi)*legendre(l, m, cos(theta), "norm")
      else
         y = 1/(sqrt(2*%pi))*exp(%i*m*phi)*legendre(l, -m, cos(theta), "norm")
      end
    endfunction

    // 3.2 : definindo outra função útil
    function [x,y,z] = sph2cart(theta,phi,r)
      // vetor linha teta      1 x nt
      // vetor coluna phi  np x 1
      // r     escalar ou matriz np x nt (r(i,j) o comprimento em phi(i) theta(j))
      x = r.*(cos(phi)*sin(theta));
      y = r.*(sin(phi)*sin(theta));
      z = r.*(ones(phi)*cos(theta));
    endfunction

    // 3-3 plot de Y31(theta,phi)
    l = 3; m = 1;
    theta = linspace(0.1,%pi-0.1,60);
    phi = linspace(0,2*%pi,120)';
    f = Y(l,m,theta,phi);
    [x1,y1,z1] = sph2cart(theta,phi,abs(f));       [xf1,yf1,zf1] = nf3d(x1,y1,z1);
    [x2,y2,z2] = sph2cart(theta,phi,abs(real(f))); [xf2,yf2,zf2] = nf3d(x2,y2,z2);
    [x3,y3,z3] = sph2cart(theta,phi,abs(imag(f))); [xf3,yf3,zf3] = nf3d(x3,y3,z3);

    clf()
    subplot(1,3,1)
    plot3d(xf1,yf1,zf1,flag=[2 4 4]); xtitle("|Y31(theta,phi)|")
    subplot(1,3,2)
    plot3d(xf2,yf2,zf2,flag=[2 4 4]); xtitle("|Real(Y31(theta,phi))|")
    subplot(1,3,3)
    plot3d(xf3,yf3,zf3,flag=[2 4 4]); xtitle("|Imag(Y31(theta,phi))|")

## Autores

- Smith, John M. (código dxlegf.f de Slatec)
- B. Pincon (interface Scilab)